2話 虫喰い算大会(2)
読み方を変える
第四の鍵は、比較的楽であったから、あとはもういいだろうと安心すると、たいへんな間違いが起る。
ここで六段目と七段目の真中を見る。11から 0N を引きＭが残りとなっている。この関係を書き直すと N＋M＝11 となる。前にＮは偶数と分かっているから、Ｍは奇数でなければならぬ。
奇数といっても、既に１と５とが決まりずみだから、Ｍは３、７、９のどれかであらねばならぬ。
ところがＭについては、もう一つ制限がある。それは三段目のところで、除数の 1M5 に２をかけて 2I0 となっているが、Ｍは４か、４より小さい数でなければならぬ。なぜならＭが５以上なら計算は二桁の数となり、三段目の左端は２とならずに３に変ってしまうからである。Ｍは４か、４よりも小さい数でなければならぬという条件を、前に導き出したＭは３か７か９のどれかであるという条件に加えると、当然Ｍは３であるしかない。これが第五の鍵だ。
さきに N＋M＝11 という関係が明かになっていたから、このＭを３に置きかえると、Ｎは当然８だと分る。
それで除数は 135、答は 218 であると分った。もうこれで後はがちゃがちゃ解ける。すなわち次頁に示すような計算になって、この問題はりっぱに解けたこととなる。名探偵の勝利である。さあ、シャンパンでも抜こうかという順序になるわけだ。シャンパンがなければ鉄管ビールで間に合わせておけ！
２１８
＿＿＿＿＿＿
１３５）２９４６７
２７０
―――――
２４６
１３５
――――
１１１７
１０８０
――――
３７
Ｃ＝１
Ｍ＝３
Ｌ＝５
Ｑ＝２
Ｔ＝９
Ｐ＝４
Ａ＝６
Ｉ＝７
Ｎ＝８
Ｓ＝０
次は非常にむつかしい問題の一例として、一数字の外は全部穴ばかりという例題を出してみる。こんな問題が推理だけで解けるとは思わない人が少くないであろうから、推理でちゃんと追込んで行けるというところをお知らせしたい。
【例題七】 一目見ただけでこれが難問題ということがはっきり分る。分っているのは、答の千位の数字が７だというだけである。この穴を埋める答がもしも出たとしたら、それは出鱈目のまぐれ当りか、それとも初めから問題を知っていたせいだろうと邪推する人があるかもしれない。しかしそうではなく、やはり推理の力でどんどん押していって、これが解けてくるのである。もちろん大骨が折れる探偵事件であるが、さように大骨が折れるところが、また虫喰い算ファンにとって、実にこたえられない快味である。では取懸ることとしよう。
□７□□□
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
□□□）□□□□□□□□
□□□□
―――――――――
□□□
□□□
――――――
□□□□
□□□
――――――
□□□□
□□□□
――――
０
まず第一着手は０を探すこと。これは容易である。答の十位の□は０である。なぜなれば、八段目をよく見ると一度に上から二桁下りている。だから答の十位は０であることは歴然である。そこで□の中に０を書き込む。
次は、答の万位と一位は、共に７より大なる数字だと分る。つまり８か９であろう。なぜなら、７の場合は、計算すると五段目のとおり三桁であるのに、万位の計算である三段目も、一位の計算である九段目も、共に四桁の数字である。であるからして、どっちも７より大きい８乃至９であることが分る。
それから次は、六段目の左端に目をつける。これは１であらねばならぬ。七段目で一桁下って引いてあるが、その下にも何もないのであるから間違いなくそれは１である。
それから今度は、二段目左端の除数の百位の数字が１であらねばならぬと判定を下す。なぜなれば答の千位の７を、三桁の除数に掛けたものが、五段目に出ている如く、やっぱり同じ三桁であるからには、除数の百位の数字は１であらねばならぬ。もし２以上であったら四桁以上になるから不合理だ。
三段目左端と、九段目左端は、共に１であらねばならぬ。なぜなら、除数の百位の数字が今１と決まった以上は、この四桁の数字の左端はどんな数字を掛けようが１以外にはなり得ない。
すると八段目左端も１であらねばならぬ。なぜなれば、この八段目は九段目と同一であるからである。
まあこの辺で、原運算を整理して下に示して置こう。但し▲は、８か９かのどっちかだということを示す。
▲７□０▲
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
１□□）□□□□□□□□
１□□□
―――――――――
□□□
□□□
――――――
１□□□
□□□
――――――
１□□□
１□□□
――――
０
こうしてやっと七八つの穴は解いたが、のこりの穴は三十二ホールだ。前途遼遠の感を深うする。
さて、元気を出して次に掛る。
二段目の除数の十位の数字は２以下である。つまり２か１か０であらねばならぬ。なぜなれば、五段目左端は７か、或いは８故（これが６以下では六段目の左端は１とはならず、又９であれば０となるから不合理）、除数の十位の数字が２と１と０以外では五段目左端が７或いは８とならない。
ところが、なおよく検討すると、それが０では不合理で、２か１かのどっちかに狭ばめられる。なぜなら、それが０では、除数は 10□ となるわけだから、これに答の万位の数字と思われる８を掛けようが９を掛けようが、共に三桁の数となり、三段目や九段目に示されるような四桁の数とはならないからである。
次に、一段目の答の百位の数字は８である。なぜなれば、除数は既に追込まれたとおり、12□か 11□のどっちかであるが、それに百位の数字を７と仮定して掛けたのでは 84 又は 77 となり、六段目四桁目の 1□□□からそれを引いて、その残りが八段目の左端の１の如く二桁も下るためには不都合である。これはどうしても８でなければ成立たぬ。
答の百位の数が８だと決まれば、答の万位の数及び一位の数は共に９でなければならぬ。そのわけは８でさえ三桁である。しかるに万位のも一位のも共に四桁であるから、これは９であるしかない。
これで、答の数は全部判明した。すなわち□7□□□は 97809 であると決まった。
なお、七段目左端は９である。なぜなれば、これを８だとすると、その下に何か数字が残る、しかし実際にはこの下には何にもないのであるから、９であるしかない。
これだけのことを計算に書入れてみると下のようになる。
９７８０９
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
１□□）□□□□□□□□
↑ １□□□
２ ―――――――――
又 □□□
は □□□
１ ――――――
１□□□
９□□
――――――
１□□□
１□□□
――――
０
さあ、あと一息である。
除数の十位の数は２か１かのどっちかであると、既に追つめられている。この問題を片づけるのは比較的楽である。これまで当ってきたところから考えると、それは１であるよりも、２である方がずっと有力である。そこでこれを仮りに２と考える。
すると、除数は 12□の形となったわけ。
そうだとすると、除数の一位の数は、４又は４より小さい数でなければならぬことになる。なぜなれば、七段目に於いて、124×8＝992 であり、それが５以上では 125×8＝1000 となって四桁になる。しかるに七段目は三桁であるから、除数の一位の数は４、又は４より小さい数字であらねばならぬ。
これを４とすると、除数は 124 となる。これと先に判明した答の 97809 とで、この計算を行ってみると右のようになる。
９７８０９
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
１２４）□□□□□□□□
１１１６
―――――――――
□□□
８６８
――――――
１□□□
９９２
――――――
１□□□
１１１６
――――
０
このあとは逆にやって行くと穴の中は全部数字で埋められるが、その結果はすこしも不都合がなく下のようになる。これが答だ。やれやれ骨を折った。
９７８０９
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
１２４）１２１２８３１６
１１１６
―――――――――
９６８
８６８
――――――
１００３
９９２
――――――
１１１６
１１１６
――――
０
解法は、何もこれ一つに限らず、もっといい別の方法があってもいいわけで、よく考えて頂きたいものである。
このへんで例題の解説は打切ることとする。
４ “虫喰い算”大会について
いよいよこれから「“虫喰い算”大会」を開催する。第一会場から第三十会場まである。一会場につき、いずれも四題ぐらいずつが掲げてある。じっくりとぶつかって、推理の力により答を出して頂きたい。
空白の頁は、こまかい計算をしたり、またやり直すのに便利なために明けておいた。
一日に一会場以上は進まない方がよろしいと思う。どんどん通ってしまっては、頭も痛くなるであろうし、珠玉のような虫喰い算の味が十分は味えないと思う。
四問題のうち、初めの二問題か三問題は比較的やさしいが、後に出て来るものは大分むつかしくなっている。
また最初のうちの会場は、わりあい楽であるが、会場が進むにつれて、だんだんむつかしくなって来る。第二十会場あたりからあとは、相当に骨が折れて頭から湯気を出されることと思う。その代り十分骨折り甲斐のある虫喰い算の魅力を満喫せられることであろう。
なお、これらの答は、わざとつけてない。答を繰ってみて、「ははあ、なんだこの□は９か」などとやられては、虫喰い算の妙味はなくなってしまう。もしやり方に詰ったら、その前の例題を復習して、虫喰い算の解き方のこつを会得せられ、それからもう一度問題と取組んでいただきたい。
第一会場をパスすれば、第一階選士となられる。かくてどんどん進んで、第三十会場をパスすれば、当然第三十階選士として最高の名誉を獲得せられるわけで、メダルでも出したいところであるが、あいにく手許にないのは遺憾である。
第三十階選士になったからといって、この虫喰い算の書はつまらないものと化したわけではない。また改めてもう一度第一会場からくりかえしてみられると、また新なる感興を覚えられるであろう。虫喰い算は、一度や二度解いたから、そのあとはもう興味索然とするような、そんな薄っぺらなものではない。こうして二度三度四度とやりかえすために、本書にインキで書き込むことは控えて、なるべく軟い鉛筆で記入されたいものである。
では会場を開きますぞ。さあさあ世界にめずらしい「“虫喰い算”大会」の会場は、こちらが出発点でございます。自信と興味のある方は、どんどんこの門から御入場なされませい。どうぞ、お先へ、お先へ……。
“虫喰い算”大会 第一会場
さあ、こちらが第一会場です。“虫喰い算”大会の出発点です。加え算、引き算、掛け算、割り算と全部揃っています。
（４）は、五つの穴から成立っている数を、11で割った答が、穴の下に出ていますが、残りがあることに御注意のこと。（５）はこの会場で一番むつかしいものですが、よく見ていれば、どこから解いたらいいか分ります。（分らない方に、智恵をちょっと貸しましょうか。８に如何なる数をかけたら、一位に４の数が出るか、出ている桁は三桁ですから……そこまでいっては興味がなくなりますね、ごめんなさい）
（１）★
□９３７
８□
１０９
＋ ４□７５
―――――――
７４□５
（２）★
８□７４□
－ ６□２３
―――――――
□１１□６
（３）★
□□□□１□
× ７
――――――――
□９９９９９８
（４）★
１１）□□□□□
￣￣￣￣￣￣
７９９６ 残り９
（５）★
□□
＿＿＿＿＿
２８）１□□４
□□
―――――
□□４
□□４
――――
０
“虫喰い算”大会 第二会場
第一階選士となられた貴下の御来場を歓迎します。どうぞ本会場も見事にパスして、第二階選士の名誉を獲得せられんことを希望いたします。
本会場にも五問題が配置されてあります。
（１）はやさしい。（２）ではちょっと頭をおひねりになるでしょう。（３）もへいちゃら。（４）は、ちょっとむつかしそうに見えて、案外やさしいです。右の方の或る数字と或る数字に注意力を向ければねえ。（５）は面白い問題です。三つのＣと、それからＢによく御注意を……いや、いわない方がよかったかなあ。
（１）★
５２６
－ □７□
――――――
３４７
（２）★
ＡＢ２ＤＥＦ
× ２
――――――――
２ＤＥＦＡＢ
（３）★
９）□□□□□
￣￣￣￣￣￣
４１４０ 残り８
（４）★
８２３
× １□
――――――
□□□５
８２３
――――――
□□□□５
（５）★
ＤＣ
＿＿＿＿＿
ＡＢＣ）ＤＥＤＣ
ＤＡＢ
―――――
ＣＤＣ
ＣＤＣ
――――
０
“虫喰い算”大会 第三会場
こちらが第三会場です。今までとちがって少しむつかしくなりますよ。
（１）の穴は、８以内の数字をあてはめてください。（２）は楽ですね。（３）は、いささか骨っぽいですぞ。ＡとＣを掛けて三十いくつになるためには、ＡとＣはどんな数でなければならぬか。７と３は既に決まっているからこれは除外です。また０でもあり得ない。３以下の小さい数字でもあり得ない。だんだん範囲が制限されてきますね。それにもう一つ考え合わせます。最後のところで、３にＡを掛けると、一位はＣとなる。そういう特定の数はたくさんありませんね。……ここらでお分りになるでしょう。（４）は大したことありません。（５）は面白いです。
（１）★
２３４４
□□□□
＋ ５７２０
――――――――
１３２５２
（２）★
□７□６□
× ７
―――――――――
３□２９□６
（３）★
Ａ）３Ｂ７ＡＣ
￣￣￣￣￣￣
ＣＢ７３
（４）★
ＡＢ□Ａ
× ＡＢ
――――――――
□□□□
□□□９
――――――――
□□□Ｂ□
（５）★
１□２
＿＿＿＿＿＿
□□）□□□６４
□□
―――――
２４６
□□１
―――――
□□４
□□４
―――――
０
“虫喰い算”大会 第四会場
前会場で第三階選士を獲得なされて、おめでとうございました。しかし、前会場は、ちょっとこたえたようでございますね。
本会場は、その埋合わせに、比較的やさしく且つ面白いものを並べてあります。（５）に於いては、答のところにＡが二つありまして、そこに……。
喋りすぎるぞ、というお叱りです。はいはい、では沈黙いたします。
（１）★
６７４□
２□７
６３
＋ ２□□８
―――――――
□□１□３
（２）★
７）□□□□□
￣￣￣￣￣￣
６６１８ 残り１
（３）★
ＣＢ８Ａ６
× Ａ
―――――――――
２１ＣＢ８Ａ
（４）★
２Ｎ８
２Ｎ２
８８Ｎ
＋ Ｎ２Ｎ
―――――――
２１６４
（５）★
Ａ７Ａ
＿＿＿＿＿＿
□□）１□□□□
１□□
―――――
□□
□□
―――――
□□□
□□□
―――――
０
“虫喰い算”大会 第五会場
いらっしゃい、ここが第五会場です。
いかがですか。大分面白くなりましたね。本会場も五問題を用意してございます。
（１）、（２）、（３）は、居睡りしていてもお出来になりましょう。
（４）は？“この計算は間違いじゃないかなあ、三桁の数をかけてあるのに、計算は二桁しか出ておらんぞ”と、誰方か喚いていますが、やれやれお気の毒。
（５）は三段目の４に、お目をとめられて……。いや、余計な口出しでしたかね。
（１）★
□□７□４□
× ７
―――――――――
１□２□８□１
（２）★
□８４５６２
－ ８□１□３
―――――――――
６□７□７□
（３）★
□２□
＿＿＿＿＿
８）３□２４
（４）★
ＷＴＦＲ
× ＳＴＸ
―――――――――
ＸＲＳＹ
ＳＷＱＹ
―――――――――
ＳＹＲＱＳＹ
（５）★
Ａ□１
＿＿＿＿＿＿
１Ａ）□５６□□
□４□
――――――
□□□
□□□
―――――
１□
１□
―――
０
“虫喰い算”大会 第六会場
既に第五階選士になられしことなれば、その実力に敬意を表し、本会場以後に於いては、それとなくヒントを袖の下からちらりと見せるようなことはよしましょう。
ささ、どうぞお進み下さい。
（１）★
□□５７□
× ９
―――――――――
３□１□０２
（２）★
５４８３□
－ □□２□□
――――――――
９６３９
（３）★
６）□□□□□
￣￣￣￣￣￣
９） □□□□ 残り１
￣￣￣￣￣￣
４７０ 残り１
（４）★
３□□□
× ９□
―――――――――
２□□□１
３０□１７
―――――――――
３３□□□１
（５）★
７Ｆ
＿＿＿＿＿＿
ＡＤＣ）ＢＡＥＦＣ
ＢＤＧ８
――――――
ＤＥＥＣ
１ＥＥＣ
――――――
０
“虫喰い算”大会 第七会場
はい、こちらが第七会場です。
だんだん面白い問題が出て来ます。
（１）も（２）も（３）も、あまり面白くない――とおっしゃいますか。やさしすぎて面白くないのですか。そうでしょう、もう貴下は第六階選士なんですからねえ。しかし何事にも、ウォーミング・アップということが必要でございますと存じます。
（４）と（５）は、たいへん面白い。おほめにあずかって恐れ入ります。
（１）★
２１５７
□□□□
＋ １６２５
―――――――
１０３４２
（２）★
□□□
× □７
―――――――
３□□４
５□□□
―――――――
□□□□□
（３）★
Ａ７
＿＿＿＿
３）１Ａ１
（４）★
ＡＢＣＤ
× ＤＣＢ
――――――――
ＢＤＫＧ
ＣＨＥＢ
ＤＦＣＫ
――――――――
ＬＣＣＥＧＧ
（５）★
□７４
＿＿＿＿＿＿
３１□）□□６□□
６３□
――――――
□□８□
□□□□
――――――
□□□□
□□□□
――――――
□１８
“虫喰い算”大会 第八会場
第八会場はこちらでございます。例によって問題は五つ並べてございます。どうぞお気のままにお進み下さい。
え？ 前のように喋ってくれとおっしゃるのですか。それは困りましたね。本会場の問題はそんなにむつかしかありませんよ。
（４）ですか。これはわけありません。六段目でＢが何者かと分れば、除数の十位も分ってあとは……あとは、むにゃむにゃ。
（５）ですか、貴下が本当に助け舟をお求めなさるのは。割る数も商も皆、穴で、手がかりがないとおっしゃいますか。なあに、これもやさしいですよ。五段目の数字は何と何とを掛けると出るべき数か、因数の知識をちょいと……叱られぬ先に黙りましょう。
（１）★
３４５６□８
□３２４□
＋ □６□１２３
―――――――――
９５９０４５
（２）★
４□□□４
－ □９４７□
――――――――
２６２０５
（３）★
７□４□
× ５３
――――――――
２３□□７
３８□□□
――――――――
４１０□□７
（４）★
ＳＴＰ
＿＿＿＿＿
ＢＴ）ＫＤＮＧ
ＰＫ
―――――
ＦＮ
ＴＮ
――――
ＢＧＧ
ＮＢ
――――
Ｎ
（５）★
□□□
＿＿＿＿＿＿
□□□）□□□□□
□□□
――――――
□□□□
１８５１
――――――
□□□□
□５□□
――――――
０
“虫喰い算”大会 第九会場
やっぱり叱られてしまいました。余計なお喋りをして、興味を削いだというので……。それなれば、私のお喋りに対して耳に蓋をして下さればそれで目的は達せられる筈ですが……いや、ぐちは申しますまい。
いよいよ第九会場となりました。（５）に取組んで、虫喰い算の味を満喫していただきましょう。
（１）★
４５□７□
２３□１
□２９３１
＋ □２４６
―――――――――
１０４１９６
（２）★
５７
＿＿＿＿
３）Ａ７Ａ
（３）★
１ＡＢＣ５７
× ３
―――――――――
ＡＢＣ５７１
（４）★
□３
＿＿＿＿
□□）９４９
□□
――――
□□９
□□９
――――
０
（５）★
ＢＱＭ
＿＿＿＿＿＿＿
ＸＶＳ）ＸＱＡＲＡＭ
ＸＭＡＢ
―――――――
ＣＱＡ
ＢＢＡ
―――――
ＶＡＭ
ＶＡＭ
――――
０
“虫喰い算”大会 第十会場
ここがもう第十会場になります。
全三十会場の、ちょうど三分の一の境界線に達したわけです。本会場をパスなされば、すなわち第十階選士です。
満々たる自信をもって、本会場を楽々とパスされることと信じます。しかし油断は禁物ですぞ。この後には山あり谷あり流れあり、嘘だと思ったら、次の会場へ。そこで目をお廻しになりませんように。
（１）★
１□９２
２９□１
９７１□
＋ ２□１７
――――――
１７５９２
（２）★
□）５６□９６
￣￣￣￣￣￣
８１□８
（３）★
９７□
× □８
―――――――
□□□０
９□□
―――――――
１７５□０
（４）★